Trong hệ tọa độ đồng nhất, một đường cô-nic có thể được biểu diễn dưới dạng:

A 1 x 2 + A 2 y 2 + A 3 z 2 + 2 B 1 x y + 2 B 2 x z + 2 B 3 y z = 0. {\displaystyle A_{1}x^{2}+A_{2}y^{2}+A_{3}z^{2}+2B_{1}xy+2B_{2}xz+2B_{3}yz=0.}

Hay dưới dạng ký hiệu ma trận

[ x y z ] . [ A 1 B 1 B 2 B 1 A 2 B 3 B 2 B 3 A 3 ] . [ x y z ] = 0. {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0.}

Ma trận M = [ A 1 B 1 B 2 B 1 A 2 B 3 B 2 B 3 A 3 ] {\displaystyle M={\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}} được gọi là ma trận đường cô-nic.

Δ = det ( M ) = det ( [ A 1 B 1 B 2 B 1 A 2 B 3 B 2 B 3 A 3 ] ) {\displaystyle \Delta =\det(M)=\det \left({\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}\right)} được gọi là định thức của đường cô-nic. Nếu Δ = 0 thì đường cô-nic suy biến, đường cô-nic trong thực tế chỉ còn là một cặp đường thẳng đồng nhất. Một đường cô-nic tự cắt chính nó luôn luôn là một dạng suy biến, mặc dù vậy không phải tất cả các dạng đường cô-nic suy biến đều tự cắt chính nó, nếu không cắt chính mình, chúng có dạng những đường thẳng.

Ví dụ như, đường cô-nic [ x y z ] . [ 1 0 0 0 − 1 0 0 0 0 ] . [ x y z ] = 0 {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0} suy biến thành dạng cặp đường thẳng đồng nhất:

{ x 2 − y 2 = 0 } = { ( x + y ) ( x − y ) = 0 } = { x + y = 0 } ∪ { x − y = 0 } {\displaystyle \{x^{2}-y^{2}=0\}=\{(x+y)(x-y)=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x-y=0\}} .

Tương tự như vậy, một đường cô-nic đôi khi suy biến thành một đường thẳng đơn:

{ x 2 + 2 x y + y 2 = 0 } = { ( x + y ) 2 = 0 } = { x + y = 0 } ∪ { x + y = 0 } = { x + y = 0 } {\displaystyle \{x^{2}+2xy+y^{2}=0\}=\{(x+y)^{2}=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x+y=0\}=\{x+y=0\}} .

δ = det ( [ A 1 B 1 B 1 A 2 ] ) {\displaystyle \delta =\det \left({\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}\\B_{1}&A_{2}\end{bmatrix}}\right)} được gọi là biệt thức của đường cô-nic. Nếu δ = 0 thì đường cô-nic là một parabol, nếu δ<0, nó là một hyperbol và nếu δ>0, nó là một hình ellipse. Một đường cô-nic là một đường tròn nếu δ>0 và A1 = A2, Là rectangular hyperbola nếu δ<0 và A1 = -A2. Nó có thể được chứng minh trong mặt phẳng phản xạ CP2 thường thì hai đường cô-nic có bốn giao điểm, nên không bao giờ vượt quá bốn giao điểm (các trường hợp có thể: bốn giao điểm phân biệt, hai giao điểm đơn và một giao điểm kép, 2 giao điểm kép, 1 giao điểm đơn và một giao điểm ba, 1 giao điểm 4). Nếu tồn tại tối thiểu một giao điểm với số điểm trùng lại > 1, hai đường cô-nic được gọi là tiếp xúc nhau. Nếu chỉ có một điểm, do bốn điểm trùng làm một, hai đường cô-nic được gọi là mật tiếp[1].

Xa hơn nữa mỗi đường thẳng gặp mỗi đường cô-nic hai lần. Nếu giao điểm là một điểm kép, đường thẳng đó được gọi là tiếp tuyến của đương cô-nic.Bởi vì mỗi đường thẳng cắt một đường cô-nic hai lần, mỗi đường cô-nic có hai điểm vô cực (giao điểm với hai đường thẳng vô cực). Nếu những điểm đó là thật, thì đương cô-níc phải là một hyperbol, nếu chung là sự liên kết ảo, đường cô-nic phải là một hình ellipse, nếu đường cô-nic có một điểm kép vô cực, nó là parabol. Nếu những điểm vô cực là (1,i,0) và (1,-i,0), đường cô-nic là đường tròn. Nếu một đường cô-nic có một điểm thực vô cực hay hai điểm ảo không tạo ra sự liên kết, thì nó không phải là ellipse, hay parabol, hay hyperbol.